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Profesor:
Edgar Lopategui Corsino
PREPARACIÓN
PARA CÁLCULO
Gráfica y Modelos
Modelos Lineales y
Razones (Tasas) de Cambio
Funciones y sus Gráficas
Ajustando Modelos de
Datos
Funciones Inversas
Funciones Exponenciales y
Logarítmicas Una Introducción a Cálculo
Regresar al Principio
Regresar al Menú
Regresar Arriba
LÍMITES,
CONTINUIDAD Y
SUS PROPIEDADES
El límite representa uno de los conceptos más importante
en Cálculo. Se estará explorando esta idea numéricamente,
gráficamente y algebraicamente.
EL CONCEPTO DE LÍMITE
El límite representa una tendencia
hacia donde un valor se dirige, o se acerca, en
dirección a un destino dado. Comenzamos con una
función f
y un número c,
tal que f
se define sobre algún intervalo conteniendo a c,
pero no necesariamente c mismo. Si
f (x)
se aproxima a un sólo número L, conforme
se acerca x a c de ambos
lados, el límite de
f
(x),
conforme x se aproxima a c,
es L. El número L es
el límite de f
conforme x se aproxima a c;
esto se denota como (su notación matemática se escribe
como):
lim
f (x)
= L
x->c
Entonces, el límite significa que el valor de la función
f (x)
se aproxima a L conforme x
se aproxima a c, o, de manera equivalente,
f (x)
está próxima a L cuando x
está cerca de c, pero x no
es igual que c.
Utilizando la notación de límite,
se puede escribir:
lim
f
(x)
= 3. Esto lee como "el límite de
f
(x)
conforme x se aproxima a 1
es 3"
x->1
Con el ímite nos preguntamos: ¿Cómo se comporta?.
Es decir, es una forma de analizar el comportamiento de
una función. No podemos preguntar: ¿A qué
valor, si existe, la función asigna valores cercanos a
ese valor c?
lim
f (x)
= L
x->1
¿Existe un valor que la función f(x) se acerca cuando x
toma valores cercanos de 1?
a=Número Real
lim
f (x)
= ? Límite de esa función, llama x,
se acerca a un valor c.
x->c
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DEFINICIÓN:
Definición Informal (Intuitiva) de Límite
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Si
f (x)
se hace arbitrariamente próximo a un único número L
cuando x se aproxima hacia c por ambos lados, decimos
que el límite de
f (x), cuando x
tiende a c, es L, y escribimos: lim
f (x) = L
x-->c |
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LÍMITE: Otra
Definición |
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Escribimos: lim
f(x) = L
ó f(x)
---> L conforme x ---> c
x-->c
si el valor de la función f(x) está cerca de
un solo número real L en cualquier momento en que
x se encuentre cerca, pero no igual a, c
(en cualquiera de los lados de c). |
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DEFINICIÓN: Otra Definición de Límite |
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Una función f posee
el límite L conforme x se
aproximan a "a", escrito como: lim
f (x) = L,
x-->a
si todos los valores f(x) para f
estan cerca dce L para todos los valores de x
que están arbitrariamente cerca, pero no iguales, a "a". |
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LA EXISTENCIA
DE UN LÍMITE: |
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Para que un límite pueda existir,
deben de existir, y ser iguales, los límites que provienen de la
izquierda y la derecha. En otras palabras, se dice que un
límite existe si tanto el límite de la izquierda como el de la
derecha, existen y son los mismos. |
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NOTA: |
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El límite de un número "a"
no depende del valor de
la función "a", aún cuando tal valor de la función,
f(a),
exista. Es decir, ya sea que el límite exista, o no exista, en
"a", esto no tiene que ver con el valor de la función
f(a).
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LÍMITE UNILATERAL (DE
UN SOLO LADO):
IZQUIERDO Y DERECHO:
En una gráfica de la función, lo que importa es que los
valores de f se toman cuando x está próximo a c.
x->c- Acercando
a c por valores más pequeños por la
izquierda, no necesariamente negativos
x->c+ Acercando a c por
valores más grandes por la derecha, no necesariamente
positivos
Los números de x
próximos a c se ubican en dos categorías
naturales:
1) Aquellos que se encuentran a la izquierda de c.
2) Aquellos que se encuentran a la derecha de c.
Se escribe como:
1) El límite en la región izquierda de f(x) conforme x
se aproxima a c es L:
Significa que: Conforme x se aproxima a c
desde la izquierda,
f
(x) se aproxima a
L.
lim f (x)
= L ó lim f(x) = L
x->c-
x Flecha hacia Arriba c
Por lo tanto:
lim f(x) = L,
x->c
ssi (sí y slo si) ambos
lim
f (x)
= L y lim
f
(x)
= L
x->c-
x->c+
2) El límite en la región derecha de f(x) conforme x se
aproxima a "c" es L: Significa que: Conforme x se
aproxima a "c" desde la derecha, f(x) se aproxima a "L"
lim f(x) = L ó lim f(x) = L
x->c+ x Flecha hacia Abajo c
Entre el Límite de la Izquierda y
el Límite de la Derecha:
Límite por la Izquierda:
lim f(x) = L
x->c-
Límite por la Derecha:
lim f(x) = L
x->c+
Límite Regular (de izquierad y Derecha):
lim f(x) = L
x->c
Cuando se considera el límite Regular (de izquierad y
Derecha), nos interezamos en los valores de x
en un intervalo abierto que contiene a "c", pero no a
"c" misma, es decir, en los valores de x en la
proximidad de "c" y en los valores mayores que "c" o
menos que "c"
Si la curva es liza, siempren hay
límites.
CONTINUIDAD
En una función contínua, el límite
existe y coincide con la función evaluada en ese valor
de x.
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Límite de una Función Polinómica |
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Si
f(x)
es una función polinómica y c es cualquier número
real, entonces: lim f(x) =
f(c)
x-->c. |
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PROPIEDADES DE LOS LÍMITES:
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1: PROPIEDADES DE LOS LÍMITES:
Propiedad de la Constante
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Para cualquier constante
k: lim
k = k
x-->c. |
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Descripción/Implicación: |
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El límite de
una función constante es la propia constante |
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2: PROPIEDADES DE LOS LÍMITES:
Función Identidad |
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Para la identidad de la función:
f(x) = x lim f(x) = lim
x = a
x-->a x-->a |
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Descripción/Implicación: |
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Se sustiuye el
valor de a
para la x
en la función identidad |
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3: PROPIEDADES DE LOS LÍMITES:
Propiedad de la Suma o Diferencia
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Si lim f (x) =
L y lim g (x) =
M, entonces
x-->a x-->a
lim (f (x) + g (x)) =
L + M
x-->a |
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| |
Descripción/Implicación: |
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El límite de
una suma (o diferencia) de funciones es la suma (o diferencia) de
los límites |
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4: PROPIEDADES DE LOS LÍMITES:
Propiedad del Producto de la Constante
(Múltiplo Escalar) |
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Para cualquier constante
k
, si lim f (x) = L, entonces
x-->a
lim
k f (x) = k lim f (x) = k L
x-->c. x-->c. |
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| |
Descripción/Implicación: |
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El límite de
una constante multiplicada por una función es la constante
multiplicada pr el límite de la función. En otras palabras, la
constante se sale de la operación del límite |
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5-a: PROPIEDADES DE LOS LÍMITES:
Propiedad del Producto
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Si lim f (x) =
L y lim g (x) =
M, entonces
x-->a x-->a
lim (f (x)
* g (x)) = lim f (x)
* lim g (x)) = L
* M
x-->a x-->a x-->a |
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| |
Descripción/Implicación: |
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|
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El límite del
producto de funciones representa el producto de sus límites |
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5-b: PROPIEDADES DE LOS LÍMITES:
Propiedad del Cociente
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Si lim f (x) =
L y lim g (x) =
M, entonces
x-->a x-->a
lim
f (x)
f (x) x-->a
L
lim ---------- = -----------------
= ------ (M
no es igual a 0)
x-->a g (x) lim
g (x)
M
x-->a |
|
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| |
Descripción/Implicación: |
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|
| |
El límite del
cociente de funciones representa el cociente de sus límites |
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DEFINICIÓN: Continuidad |
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Continuidad en
un Punto: Una función f se dice
continua en c (continua en x
= c), si se verifican las siguientes condiciones: |
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| |
|
|
| |
a) |
f(c) existe, |
|
La salida
f(c) existe |
|
| |
b) |
lim x--> a f(x) existe, y |
|
El límite conforma
x
---->c existe |
|
| |
c) |
lim x--> a f(x) = f(c) |
|
El límite es el mismo que
la salida |
|
| |
|
|
| |
Una función es
continua sobre un intervalo I si es continua en
cada punto de I. |
|
| |
Continuidad en un
intervalo abierto: Una función f se dice continua
en un intervalo (a, b) si lo es en todos los puntos de ese
intervalo |
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|
EJERCICIOS
DE PRÁCTICA
Ejercicio 1:
| PROBLEMA |
: |
Hallar el límite de lim
sqrt x2 + 6x + 9
x-->2
|
| |
|
|
| DADO |
|
lim sqrt x2
+ 6x + 9
x-->2 |
| |
|
|
lim sqrt x2
+ 6x + 9
x-->2 |
|
:Función:
Original Dada |
| |
|
|
lim sqrt 22
+ 6(2) + 9
x-->2
|
|
:Propiedad:
de Sustitución:
Evalución Directa |
| |
|
|
lim sqrt 4 + 12 + 9
x-->2 |
|
:Simplificar:
Multiplicación |
| |
|
|
lim sqrt 25
x-->2 |
|
:Simplificar:
Suma |
| |
|
|
lim 5
x-->2 |
|
:Definición:
de la Raíz
Cuadrada
Principal |
| |
|
|
5
|
|
:Solución:
Limite de:
lim sqrt x2 +
6x + 9
x-->2
|
Ejercicio 2:
| PROBLEMA |
: |
Hallar el límite de
lim 10x2 - 2x
- 2
x-->-3
|
| |
|
|
| DADO |
|
lim 10x2
- 2x - 2
x-->-3
|
| |
|
|
lim 10x2
- 2x - 2
x-->-3 |
|
:Función:
Original Dada |
| |
|
|
|
|
:Propiedad:
de Sustitución:
Evalución Directa |
| |
|
|
|
|
:Simplificar:
Multiplicación |
| |
|
|
|
|
:Simplificar:
Suma |
| |
|
|
|
|
:Solución:
Limite de:
lim 10x2 - 2x
- 2
x-->-3
|
Hallando el Límite Gráficamente y
Numéricamente
LÍMITES QUE FRACASAN
EN EXISTIR
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Regresar Arriba
VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Ejercicio 1
| PROBLEMA |
: |
Hallar el intervalo abierto donde la función:
crece:
f
(x)
= (x2 - 9)2 |
| |
|
|
| DADO |
|
f
(x)
= (x2 - 9)2 |
| |
|
|
| |
|
|
| Paso 1: |
Calcular la
Primera Derivada:
f '(x): |
| |
|
f
(x) |
= |
(x2
-
9)2 |
|
:Función:
Original Dada |
| |
|
|
|
|
|
f
'(x)
|
= |
2(x2
-
9)2-1
*
2x2-1
-
0 |
|
:Regla:
de la Potencia
General, Potencia Regular, Constante y Cadena |
| |
|
|
|
|
| |
= |
2(x2
-
9)1 *
2x1
|
|
:Simplificar:
Resta |
| |
|
|
|
|
| |
= |
2(x2
-
9) *
2x |
|
:Definición:
de Exponentes:
1
como
Exponente:
a1
=
a |
| |
|
|
|
|
| |
= |
(2
*
2x)(x2
-
9) |
|
:Propiedad:
Asociativa: de
la
Multiplicación |
| |
|
|
|
|
| |
|
4x(x2
-
9) |
|
:Simplificar:
Multiplicación |
| |
|
|
|
|
| |
= |
4x2+1
-
36 |
|
:Propiedad:
Distributiva
de la
Multiplicación
Sobre la
Suma |
| |
|
|
|
:Propiedad:
del Producto
para
Exponentes:
Multiplicación de Exponentes con Bases Iguales |
| |
|
|
|
|
| |
= |
4x3
-
36 |
|
:Simplificar:
Suma de
Exponentes |
| |
|
|
|
|
| |
= |
4(x3
-
9) |
|
:Factorización: |
MCF (4x3
-
36)
= 4 |
| |
|
|
|
|
4
(1x3
+
9) |
| |
|
|
|
|
4
(x3
+
9) |
| |
|
|
|
|
|
f
'(x) |
= |
4(x3
-
9) |
|
:Solución:
Derivada de:
y
=
(x2
- 9)2 |
| |
| Paso 2: |
Determinar los Números Críticos (Números de Partición) -
Integrantes, o Valores, de la
Coordenada-de-x
(Domino): |
| |
| |
1) |
Establecer cuando la
primera derivada no está definida: f '(x) No Existe: |
| |
| |
|
|
|
Debido a que esta es una función
polinómica, donde siempre existe el límite (y es continua), podemos
reeplazar a x
en f
'(x)
= 4(x3 - 9) por cualquier número real. |
| |
|
|
|
Por lo tanto,
f
'(x)
existe para todos los números reales. |
| |
| |
2) |
Identificar los
valores donde la primera derivada, de la función f, es cero
(ceros de la función derivada): f '(x) = 0: |
| |
| |
|
|
|
Igualar a cero y resolver la
ecuación: |
| |
|
f
'(x) |
= |
4(x3
-
9) |
|
:Función:
Primera Derivada |
| |
|
|
|
|
|
0
|
= |
4(x3
-
9) |
|
:Reescribir:
Sustituir a y' por
Cero |
| |
|
|
|
:Igualar:
a Cero |
| |
|
|
|
|
|
0
|
= |
(x3
-
9) |
|
:Forma:
Factorizada:
Factor |
| |
|
|
|
|
|
0
|
= |
x3
-
9 |
|
:Propiedad:
del Factor
Cero:
Principio para el
Producto
de
Cero |
| |
|
|
|
|
| Si
0
=
x3
-
9, entonces,
x3
-
9
=
0 |
|
:Propiedad:
Simétrica
de las
Ecuaciones:
a = b y b = a |
| |
|
|
|
|
|
x3
-
9
=
0 |
|
:Propiedad:
del Factor
Cero:
Principio para el
Producto
de
Cero |
| |
|
|
|
x3
=
9 |
|
:Propiedad:
Aditiva de las
Ecuaciones |
| |
|
|
|
|
|
x
=
Raíz de 9 al Cubo |
|
:Propiedad:
de la Raíz
Impar:
Extracción de Raíces Impares:
xn
=
k
es equivalente a la raíz enésima de
k |
| |
|
|
|
|
|
x
=
2.0800 |
|
:Simplificar:
Raíz al cubo
de:
9 |
| |
|
|
|
|
|
x
=
2.1 |
|
:Solución:
Segundo Cero de la Función Derivada:
Número Crítico:
Raíz de 9 al Cubo |
| |
|
|
|
|
|
x
=
{ 2.1 } |
|
:Conjunto
Solución:
Números
Crítico:
x
= 2.1 |
| |
|
|
|
Paso 3: |
Determinar los Intervalos del Dominio y Crear una Gráfica de Signo -
Establecer las Particiones
sobre una Recta Numérica Real: |
| |
| |
1) |
Emplear los Números
Críticos (Números de Partición) para Dividir la Recta Numérica en sus
Correspondientes Intervalos: |
| |
| |
|
|
La recta se particiona
en dos intervalos: |
| |
|
|
| |
|
|
Intervalo: |
|
Intervalo: |
|
| |
|
|
A |
2.1 |
B |
|
|
V. de Pruebas: |
1 |
|
3 |
|
| |
|
|
(- infinito, 2.1) |
|
(2.1, infinito) |
|
| |
| |
2) |
Analizar, y
Determinar, Posibles Comportamientos, o Variaciones de Signos en la
Función Derivada, para cada Intérvalo: |
| |
|
Gráfica de Signos: |
| |
| |
|
|
Evaluar (sustituir la
variable independiente x) la función derivada con Valores
de Prueba arbitrarios, seleccionados en la vecindad de los
números críticos (antes y después de tales números de partición): |
| |
|
|
|
| |
|
:A: |
(- infinito, 2.1) |
Prueba:
1 |
f
'(1)
= 4((1)3
-
9) = 4(1 - 9) = 4(-8) = -
32 < 0
(NEGATIVO)
Signo: - |
| |
|
:B: |
(2.1, infinito) |
Prueba:
3 |
f
'(3)
= 4((3)3
-
9) = 4(27 - 9) = 4(18) =
72 > 0
(POSITIVO)
Signo: + |
| |
|
|
|
| |
|
|
Construir la Tabla (y
Gráfica de Signos) para analizar la variación de los signos |
| |
|
|
|
|
f '(x): |
BAJA |
|
SUBE |
|
|
Decrece |
|
Crece |
|
| |
|
|
- - - - - - - - -
- - - |
|
+ + + + + + + + |
|
|
V. de Pruebas: |
1 |
2.1 |
3 |
|
| |
|
|
(-
infinito, 2.1) |
|
(2.1, infinito) |
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
TABLA:
Análisis de los Cambios en Signos de f '(x) |
|
|
|
Intervalo |
(-
infinito, 2.1) |
(2.1, infinito) |
|
Valor
de Prueba |
:x
=
1 |
:x
=
3 |
|
Signo de
f '(x) |
f
'(-1)
< 0 |
f
'(3)
> 0 |
|
- |
+ |
|
Resultado |
BAJA |
SUBE |
|
(Comportamiento
de
f ) |
Decreciente |
Creciente |
|
Nótese que el
Cambio de Signo (de Positivo a Negativo) Indica un Mínimo
Relativo |
|
|
|
|
|
|
|
Paso 4: |
Determinar los Valores Críticos (Coordenada en el eje-de-y) de la
Función, Correspondientes a sus Números Críticos -
Establecer los Valores Extremos
Relativos: |
| |
| |
1) |
Determinar el Valor
Extremo Relativo/local, máximo o mínimo, que Asume la Función en su
Número Crítico: Valor, o Coordenada,
Localizado en el eje-de-y: |
| |
| |
|
|
Evaluar los Posibles
Números Críticos en la Función Original: Sustituir los Números
Críticos Dentro de la Función Original: |
| |
|
|
|
| |
|
|
|
f
(2.1)
= (2.12
- 9)2
=
(4.4-
9)2
= (-4.6)2
= 21.2
= Valor
Mínimo Relativo/Local |
| |
|
|
|
|
|
Paso 5: |
Trazar la Gráfica
de los Puntos (Par Ordenado) que Correspondientes a los Extremos
Relativos/Locales: |
| |
| |
Por lo tanto, existe un punto (par
ordenado)
Mínimo Relativo en (2.1,
21.2) |
Ejercicio 2
| PROBLEMA |
: |
Hallar los números críticos de la función:
4x
f(x) = ----------
x2 +
1 |
| |
|
|
| DADO |
|
4x
f(x) = ----------
x2 +
1 |
| |
|
|
| |
|
|
| Paso 1: |
Calcular la
Primera Derivada:
f '(x): |
| |
|
f
(x) |
= |
4x
-----------
x2 + 1:Función:
Original Dada |
| |
|
|
|
|
|
f
'(x)
|
= |
(x2+1)
Dxy[4x]
- (4x)
Dxy[4x](2x)
f
'(x) = --------------------------------------
(x2 + 1)2:Regla:
del Cociente |
| |
|
|
|
|
| |
= |
[(x2+1)(4)] - [(4x)(2x)]
= ---------------------------
(x2 + 1)2:Regla:
del Cociente:
Derivada |
| |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
f
'(x) |
= |
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:Solución:
Derivada de:
4x
f(x) = -----------
x2 + 1 |
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EL
N
Een .
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EL CONJRS: W
Los inales sopero no todos los
números cardinales son integrantes del conjunto de los
números naturales.
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EL CONJUNTOROS:
Z
La insuficienciun subconjunto de los números enteros.
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EL
CONALES:
Q
El conjunto de los Números Racionales se
creó debido a las limitaciones de cálculo que se
presentaban en el conjunto de los números naturales,
número
.
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EL
COALES: I
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EL
CON: R
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REFERENCIAS
A. LibrosDugopolski. M. (2009).
Cálcuculos. New York:
McGraw-Hill. 760 pp.
B. Revistas
- Artículos de revistas profesionales (Journals):
- Artículos de revistas, boletines o periódicos
electrónicos:
C. Recursos Electrónicos
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CÁLCULO
