Prof. Juan del Pueblo             MATE-4000: Cálculo para Universitarios             Actividades de los Estudiantes 1.1: Pág 1


DATOS DEL ESTUDIANTE:


Nombre: Edgar Lopategui Corsino     # Est: C00000000     Fecha: 24 de noviembre de 2011


Sección: 6000                      Horas de la Clase: Virtuales                      Días: TBA


CÁLCULO PARA UNIVERSITARIOS


INSTRUCCIONES:


        Dar el máximo.


EJERCICIOS DE CÁLCULO PARA UNIVERSITARIOS: Página Virtual - Ejercicio 0123


        Resuelva los Siguientes Ejercicios.


PROBLEMA:

                                                  1            1
Hallar la derivada para: y  = -----  +  -----
                                                 5x2           5x

CONOCIDO:

  d
----- [xn] = nxn-1        :Regla: Potencia
 dx

  d
----- [f (x) + g(x)] = f ' (x) + g'(x)       ó     f '(x) = u'(x) + v'(x)   :Regla: Suma
 dx             
 

  d
----- [f (x)  - g(x)] = f ' (x) - g'(x)        ó     f '(x) = u'(x) - v'(x)           :Regla: Diferencia
 dx    

DADO:

SOLUCIÓN:

        1              1
y = -----   +   -----            :Función Original: Dada
      5x2           5x  

  = 5x-2   +   5x-1           :Definición: Exponente Negativo

  = (-2)5x-2-1   +   (-1)5x-1-1           :Regla: Potencia

=  -10x-3   +   (-5x-2 )         :Simplificación: Multiplicación, Suma de Exponentes

          1            1
y = - -----    -  -----            :Función Original: Dada
         10x3      5x2  

PROBLEMA:

Hallar la derivada para: y = 2x4 - 8x3 - 9

CONOCIDO:

  d
----- [k] = 0        :Regla: Constante
 dx

  d
----- [xn] = nxn-1        :Regla: Potencia
 dx

  d
----- [f (x) + g(x)] = f ' (x) + g'(x)        :Regla: Suma
 dx             
 

  d
----- [f (x)  - g(x)] = f ' (x) - g'(x)        :Regla: Diferencia
 dx    

DADO:

SOLUCIÓN:

y = 2x4 - 8x3 - 9         :Función Original: Dada
 

y' = 2x4 - 8x3 - 0         :Regla: Constante 

   = 2x4 - 8x3               :Simplificar: Suma      

   = (4)2x4-1 - (3)8x3-1         :Regla: Potencia

   = 8x3 - 24x2         :Simplificación: Multiplicación, Resta de Exponentes

En los siguientes Ejercicios, trace la gráfica de f.  Luego identifique los valores de c para el cual el lim f (x) existe.

f '(x) = lim   f(x + h) - f(x)              Definición: Derivada de la Función
          
h-->0         h

PROBLEMA:

Hallar la derivada de -3sin x

CONOCIDO:

  d
----- [sin x] = cos x      :Derivadas Trigonométricas: Función de Seno
 dx

  d
----- [cos x] = - sin x      :Derivadas Trigonométricas: Función de Coseno
 dx

 d
----- [ex] = ex      :Derivada: Función del Exponente Natural
 dx

DADO:

SOLUCIÓN:

-3sin x        :Función Original: Dada

PROBLEMA:

Hallar la derivada para la función:  f'(49) si f(x) =

CONOCIDO:

f '(x) = lim   f(x + h) - f(x)                           :Definición: Derivada de la Función
          
h-->0         h

m(x1) = lim   f(x + h) - f(x)                           :Definición: Derivada de la Reacta Tangente
          
h-->0         h

SOLUCIÓN:

f '(x) = lim   f(x + h) - f(x)                           :Definición: Derivada de la Función
          
h-->0         h

f '(x) = lim   f(49 + h) - f(49)                           :Evaluación: Valor de x
          
h-->0         h

SOLUCIÓN:

mVertical = No Definidas

PROBLEMA:

Hallar la derivada para la función:  f'(10) if f(x) = 11x2 + 9x

DADO:

f'(10)

x  = 10

 f(x) = 11x2 + 9x

CONOCIDO:

Derivada de la Función:

                    f(x + h) - f(x)
f '(x) = lim -------------------- 
           h-->0            h

SOLUCIÓN #1:

                    f(x + h) - f(x)
f '(x) = lim --------------------                                               :Definición: Derivada de una Función
           h-->0            h

                    f(10 + h) - f(10)
f '(x) = lim -----------------------                                           :Evaluación: Valor de x: x = 10
           h-->0            h

                    [11(10 + h)2 + 9(10 + h)] - [11(10)2 + 9(10)]
f '(x) = lim ------------------------------------------------------------       :Evaluación: Valor de x y constantes
           h-->0                                           h

                    [11(102 + 2(10)h + h2) + 90 + 9h)] - [11(100) + 90)]       :Multiplicación: Cuadrado de la Suma de un Binomio: (a + b)2  = (a2 + 2ab + b2)
f '(x) = lim ----------------------------------------------------------------------    :Multiplicación: Propiedad: Multiplicativa sobre la Suma
           h-->0                                                  h                                          :Simplificar: Expresión: Exponencial

                    [11(100 + 20h + h2) + 90 + 9h)] - [1100 + 90)]      
f '(x) = lim ----------------------------------------------------------------          :Simplificar: Multiplicación
           h-->0                                                  h                                         

                    [11(100 + 20h + h2) + 90 + 9h)] - 1100 - 90      
f '(x) = lim ------------------------------------------------------------          :Simplificar: Multiplicación, Signos diferentes - Cambio de Signos del Paréntesis
           h-->0                                                  h                                         

SOLUCIÓN #2:
 

f(x) = 11x2 + 9x                      :Definición: Derivada de la Función

= 11(2)(10)2-1 + 9(1)(10)1-1       :EvaluaciónValor de x: x = 10
                                                      :Regla: de la Potencia

= 22(10)1 + 9(10)0                      :Simplificar: Multiplicación

= 22(10) + 9(1)                         :Definición: 1 como Exponente
                                          : Definición: Cero como Exponente

= 220 + 9                                    :Simplificar: Multiplicación

= 229                                          :Simplificar: Suma,Solución

 

Utilice la definición:

f '(c) = lim   f(c + h) - f(c)                          
          
h-->0         h

para hallar la derivada  

f'(49) if f(x) =

PROBLEMA:

Hallar la derivada para la función:  f'(49) if f(x) =

SOLUCIÓN:

f '(x) = lim   f(x + h) - f(x)                           :Definición: Derivada de la Función
          
h-->0         h

f '(x) = lim   f(49 + h) - f(49)                           :Evaluación: Valor de x
          
h-->0   

PROBLEMA:

Hallar la derivada para la función:  f'(10) if f(x) = 11x2 + 9x

DADO:

f'(10)

x  = 10

 f(x) = 11x2 + 9x

CONOCIDO:

Derivada de la Función:

                    f(x + h) - f(x)
f '(x) = lim -------------------- 
           h-->0            h

SOLUCIÓN #1:

                    f(x + h) - f(x)
f '(x) = lim --------------------                                               :Definición: Derivada de una Función
           h-->0            h

                    f(10 + h) - f(10)
f '(x) = lim -----------------------                                           :Evaluación: Valor de x: x = 10
           h-->0            h

                    [11(10 + h)2 + 9(10 + h)] - [11(10)2 + 9(10)]
f '(x) = lim ------------------------------------------------------------       :Evaluación: Valor de x y constantes
           h-->0                                           h

                    [11(102 + 2(10)h + h2) + 90 + 9h)] - [11(100) + 90)]       :Multiplicación: Cuadrado de la Suma de un Binomio: (a + b)2  = (a2 + 2ab + b2)
f '(x) = lim ----------------------------------------------------------------------    :Multiplicación: Propiedad: Multiplicativa sobre la Suma
           h-->0                                                  h                                          :Simplificar: Expresión: Exponencial

                    [11(100 + 20h + h2) + 90 + 9h)] - [1100 + 90)]      
f '(x) = lim ----------------------------------------------------------------          :Simplificar: Multiplicación
           h-->0                                                  h                                         

                    [11(100 + 20h + h2) + 90 + 9h)] - 1100 - 90      
f '(x) = lim ------------------------------------------------------------          :Simplificar: Multiplicación, Signos diferentes - Cambio de Signos del Paréntesis
           h-->0                                                  h                                         

 SOLUCIÓN #2:
 

f(x) = 11x2 + 9x                      :Función: Original Dada

= 11(2)(10)2-1 + 9(1)(10)1-1       :EvaluaciónValor de x: x = 10
                                                      :Regla: de la Potencia

= 22(10)1 + 9(10)0                      :Simplificar: Multiplicación

= 22(10) + 9(1)                         :Definición: 1 como Exponente
                                          : Definición: Cero como Exponente

= 220 + 9                                    :Simplificar: Multiplicación

= 229                                          :Simplificar: Suma,Solución

SOLUCIÓN:

f(x) = 2 - 7x3           :Función: Original Dada

= 0 - 7x3                  :Reglade la Constante

= - 7x3                      :SumaElemento Identidad

= - 7(3)x3-1                 :Reglade la Potencia

= - 21x2                     :SimplificarMultiplicación, Resta de Exponentes, Solución


SOLUCIÓN:

f(x) = x2 + 5                 :Función: Original Dada

       = x2 + 0                  :Reglade la Constante

       = x2                      :SumaElemento Identidad

      = (2)x2-1                 :Reglade la Potencia

      = 2x1                     :SimplificarMultiplicación, Resta de Exponentes

      = 2x                     :SoluciónDerivada de la Función

PROBLEMA:

Hallar la derivada para: y = 8 - 7x3

CONOCIDO:

Reglas Básicas:

Si f(x) = k, donde k es cualquier número real, entonces  f '(x) = 0

 d
----- [k] = 0                 :Regla: de la Constante
 dx

 Si f(x) = xn para cualquier número real diferente a 0, entonces  f '(x) = nxn-1

  d
----- [xn] = nxn-1        :Regla: de la Potencia
 dx

Si f(x) = kg(x), entonces  f '(x) = kg'(x)

 d
----- [cf (x)] = cf ' (x)       ó     f '(x) = kg'(x)           :Regla: del Múltiplo de la Constante
 dx

Si f(x) = u(x) + v(x), entonces  f '(x) = u'(x) + v'(x)

  d
----- [f (x) + g(x)] = f ' (x) + g'(x)       ó     f '(x) = u'(x) + v'(x)   :Regla: Suma
 dx             
 

Si f(x) = u(x) - v(x), entonces  f '(x) = u'(x) - v'(x)

  d
----- [f (x)  - g(x)] = f ' (x) - g'(x)        ó     f '(x) = u'(x) - v'(x)           :Regla: Diferencia
 dx    

Derivadas de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas:

Si a es un valor positivo distinto de 1, f(x) = ex, entonces  f '(x) = ex

  d
----- [ex] = ex        ó       f '(x) = ex           :Regla: Derivada de una Función Exponencial Natural
 dx 

Si a es un valor positivo distinto de 1, f(x) = ax, entonces  f '(x) = ax ln a

  d
----- [ax] = (ln a)ax        ó     f '(x) = ax ln a           :Regla: Derivada de una Función Logarítmica Natural
 dx    

Derivadas de las Funciones Trigonométricas:

  d
----- [sin x] = cos x      :Derivadas Trigonométricas: Función de Seno
 dx

  d
----- [cos x] = - sin x      :Derivadas Trigonométricas: Función de Coseno
 dx

  d
----- [tan x] = sec2 x      :Derivadas Trigonométricas: Función de la Tangente
 dx

DADO:

Función: y = 8 - 7x3

SOLUCIÓN:

y = 8 - 7x3                 :Función: Original Dada 

 y'  = 0 - 7x3                   :Reglade la Constante

     = - 7x3                     :SumaElemento Identidad

     = - 7(3)x3-1               :Reglade la Potencia

     = - 21x3-1                 :SimplificarMultiplicación

     = - 21x2                   :SimplificarResta de Exponentes

     = - 21x2                    :SoluciónDerivada de: y = 8 - 7x3

                           d
Por lo tanto: -----  = - 21x2                
                         dx

Encuentre la derivada.

PROBLEMA:

Hallar la derivada para: y = 4x2 + 10x + 2x -3

DADO:

Función: y = 4x2 + 10x + 2x -3

SOLUCIÓN:

y = 4x2 + 10x + 2x-3                                  :Función: Original Dada 

y' = 4(2)x2-1 + 10(1)x1-1 + 2(-3)x-3-1              :Reglade la Potencia

    = 8x2-1 + 10x1-1 - 6x-3-1                            :SimplificarMultiplicación

    = 8x1 + 10x0 - 6x-4                                  :SimplificarResta de Exponentes

    = 8x + 10(1) - 6x-4                                  :SimplificarExponentes

    = 8x + 10 - 6x-4                                      :PropiedadElemento Identidad de la Multiplicación

    = 8x + 0 - 6x-4                                        :Reglade la Constante

    = 8x - 6x-4                                             :PropiedadElemento Identidad de la Suma

    = 8x - 6x-4                                             :SoluciónDerivada de: y = 4x2 + 10x + 2x-3

                           d
Por lo tanto: -----  = 8x - 6x-4               
                         dx

Calcule la derivada de la función. Entonces, encuentre la derivada en el valor indicado. (Points: 0.5)

PROBLEMA:

Hallar la derivada para: g(x) = x3 + 5x

Hallar la derivada para: g(x) = x3 + 5x, en el valor g '(1)

DADO:

Función: g(x) = x3 + 5x

Punto: g '(1)

SOLUCIÓN:

g(x) = x3 + 5x                          :Función: Original Dada 

g'(x) = (3)x3-1 + 5(1)x1-1              :Reglade la Potencia

         = 3x3-1 + 5x1-1                     :SimplificarMultiplicación

         = 3x2 + 5x0                          :SimplificarResta de Exponentes

         = 3x2 + 5(1)                         :Definiciónde Cero como Exponente

         = 3x2 + 5                              :PropiedadElemento Identidad de la Multiplicación

         = 3x2 + 0                              :Reglade la Constante

         = 3x2                                     :PropiedadElemento Identidad de la Suma

         = 3x2                                     :SoluciónDerivada de: g(x) = x3 + 5x

                                   d
        Por lo tanto: -----  = 3x2               
                                 dx

g'(1)    = 3(1)2                                   :EvaluaciónValor de x: x = 1

            = 3(1)                                    :SimplificarMultiplicación

            = 3                                       :SimplificarMultiplicación

            = 3                                       :SoluciónDerivada de: g(x) = x3 + 5x en el Punto g '(1)

Por lo tanto, la solución es:

g '(x) = 3x2; g '(1) = 3

Calcule la derivada de la función. Entonces, encuentre la derivada en el valor indicado. (Points: 0.5)

PROBLEMA:

Hallar la ecuación de la recta tangente en el punto de la gráfica de la función: s = h(t) = t3 - 9t + 5

En el Punto: (t, s) = (3, 5)

SOLUCIÓN:

s = h(t) = t3 - 9t + 5                          :Función: Original Dada 

h'(t)  =  (3)t3-1 + 9(1)t1-1 + 5                 :Reglade la Potencia

           = 3t3-1 + 9t1-1 + 5                      :SimplificarMultiplicación

           = 3t2 + 9t0 + 5                          :SimplificarResta de Exponentes

           =  3t2 + 9(1) + 5                           :Definiciónde Cero como Exponente

           = 3t2 + 9 + 5                              :PropiedadElemento Identidad de la Multiplicación

            = 3t2 + 0 +  0                            :Reglade la Constante

            = 3t2                                        :PropiedadElemento Identidad de la Suma

            = 3t2                                        :SoluciónDerivada de: s = h(t) = t3 - 9t + 5

                                   d
        Por lo tanto: -----  = 3t2               
                                 dx

Ecuación: Recta Tangente: Forma Punto-Pendiente

y - y1 = m(x - x1)    :DefiniciónForma Punto-Pendiente: y - y1 = m(x - x1)

s - s1 = m(t - t1)     :DefiniciónForma Punto-Pendiente: s - s1 = m(t - t1)

s - 5 = 3t2(x - 3)     :Evaluar VariablesPunto-Pendiente: Punto: P1(3, 5); Pendiente: 3t2

PROBLEMA:

Hallar desplazamiento y la velocidad promedio de la expresión: s = - t3 + 4t2 - 4t,
                                                                                            en el intérvalo: 0 ≤ t ≤ 4

DADO:

Posición del objeto en movimiento rectilíneo: s = f(t)

Intérvalo: 0 ≤ t ≤ 4  =  [0, 4]

Movimiento Rectilineo = Desplazamiento = Distancia = s = metros = m

Tiempo = t = segundos = s

CONOCIDO:

Derivada de la Función:

                    f(x + h) - f(x)
f '(x) = lim -------------------- 
           h-->0            h

Velocidad Promedio:

                                      Cambio en distancia          s
velocidad promedio = -----------------------------  =  -------
                                      Cambio en tiempo                  t

Función de Velocidad:

                    s(t + t) - s(t)
v(t) = lim ----------------------------  =  s'(t)
         t-->0            t

Razón de Cambio Instantáneo:

Razón de Cambios Instantáneo de y:

             dy
f '(x) = -----
            dx    

Función de Posición:

s(t) = 1/2gt2 + v0t + s0

donde,

s(t) = Desplazamiento

s0 = Altura inicial del objeto

v0 = Velocidad inicial del objeto

g = La aceleración debido a la gravedad = =32 pies/s2 = -9.8 m2

Movimiento Rectilineo: Objeto que se mueve a lo largo de una recta

Velocidad:

           ds
v(t) = -----
          dt    

Aceleración:

           dv          d2s
a(t) = -----  =  ------
          dt          dt2

Rapidez:

I v(t) I

SOLUCIÓN 1:

s = - t3 + 4t2 - 4t                          :Expresión: Original Dada 

                    s(t + t) - s(t)
v(t) = lim ----------------------------  =  s'(t)
         t-->0            t

                    s(0 + t) - s(0)
v(t) = lim ----------------------------  =  s'(t)
         t-->0            t

                    [(0 + t)3 + 4(0 + t)2 - 4(0 + t)] - (0)3 + 4(0)2 - 4(0)
v(t) = lim -----------------------------------------------------------------------------  =  s'(t)
         t-->0                                                       t

SOLUCIÓN 2:

 s = - t3 + 4t2 - 4t                          :Expresión: Original Dada 

s(t) =  t3 + 4t2 - 4t                          :FunciónDesplazamiento (Movimiento Rectilíneo): Respecto al Tiempo

s'    =  (3)t3-1 + 4(2)t2-1 - 4(2)t1-1     :Reglade la Potencia

       =  3t3-1 + 8t2-1 - 8t1-1               :SimplificarMultiplicación

       =  3t2 + 8t1 - 8t0                    :SimplificarResta de Exponentes

       =  3t2 + 8t - 8(1)                    Definiciónde Cero como Exponente

       =  3t2 + 8t - 8                        PropiedadElemento Identidad de la Multiplicación

       =  3t2 + 8t - 0                        :Reglade la Constante

       =  3t2 + 8t                             :PropiedadElemento Identidad de la Suma

       =  3t2 + 8t                             :SoluciónDerivada de: s(t) =  t3 + 4t2 - 4t

                                  d
        Por lo tanto: -----  =   3t2 + 8t        
                                 dx

s'(4  =  3t2 + 8t                              :EvaluaciónValor de x: x = 4

           = 3(4)2 + 8(4)                        :SimplificarMultiplicación

           = 3(16) + 32                        :SimplificarMultiplicación

           = 48 + 32                           :SimplificarMultiplicación

           = 80                                       :SoluciónDerivada de: g(x) = x3 + 5x en el Punto g '(1)

negativo por negativo = positivo

-5cos x = -sin x = 5cos x

PROBLEMA:

Hallar la derivada para: y = 13 - 13x2

DADO:

Función: y = 13 - 13x2

SOLUCIÓN:

y   = 13 - 13x2         :Función: Original Dada 

y'  = 0 - 13x2            :Reglade la Constante

     = - 13x2               :SumaElemento Identidad

     = - 13(2)x2-1         :Reglade la Potencia

     = - 26x2-1             :SimplificarMultiplicación

     = - 26x1               :SimplificarResta de Exponentes

     = - 26x                 :Definiciónde 1 como un Exponente

     = - 26x                 :SoluciónDerivada de: y = 13 - 13x2

                           d
Por lo tanto: -----  = - 26x                
                         dx

3. Calcule la derivada de la función. Entonces, encuentre la derivada en el valor indicado.

PROBLEMA:

Hallar la derivada para: f(x) = x2 + 7x - 2

Hallar la derivada para: f(x) = x2 + 7x - 2; f '(0)

DADO:

Función: f(x) = x2 + 7x - 2

Punto: g '(1)

SOLUCIÓN:

f(x) = x2 + 7x - 2                :Función: Original Dada 

f '(x) = x2 + 7x - 0               :Reglade la Constante

        = x2 + 7x                    :SumaElemento Identidad

       = (2)x2-1 + 7(1)x1-1         :Reglade la Potencia

       = 2x2-1 + 7x1-1              :SimplificarMultiplicación

        = 2x1 + 7x0                  :SimplificarResta de Exponentes

       = 2x + 7(1)                   :Definiciones1 como un Exponente; Cero como un Exponente

       = 2x + 7                       :SimplificarMultiplicación: PROPIEDAD: Elememto Identidad de la Multiplicación

        = 2x + 7                      :Solución 1: Derivada de: f(x) = x2 + 7x - 2

                           d
Por lo tanto: -----  = 2x + 7             
                         dx

f'(0)    = 2(0) + 7                      :EvaluaciónValor de x: x = 0

            = 0 + 7                       :SimplificarMultiplicación

            = 7                           :SimplificarSuma: PROPIEDAD: Elemento Identidad de la Suma

            = 7                             :SoluciónDerivada de: f(x) = x2 + 7x - 2; f '(0) en el Punto f '(0)

Por lo tanto, la solución es:

f '(x) = 2x +7; f '(0) = 7

PROBLEMA:

Hallar la derivada para: g(x) = 3x2 - 4x

Hallar la derivada para: g(x) = 3x2 + 4x; g '(3)

DADO:

Función: g(x) = 3x2 - 4x

Punto: g '(3)

SOLUCIÓN:

g(x) = 3x2 - 4x                  :Función: Original Dada 

g'    = 3(2)x2-1 - 4(1)x1-1      :Reglade la Potencia

       =  6x2-1 -  4x1-1            :SimplificarMultiplicación

      =  6x1 -  4x0                   :SimplificarResta de Exponentes

       = 6x -  4(1)                   :Definiciones1 como un Exponente; Cero como un Exponente

       = 6x -  4                      :SimplificarMultiplicación: PROPIEDAD: Elememto Identidad de la Multiplicación

        = 6x - 4                      :Solución 1: Derivada de: g(x) = 3x2 - 4x

                           d
Por lo tanto: -----  = 6x - 4             
                         dx

f'(3)    = 6(3) - 4                      :EvaluaciónValor de x: x = 3

            = 18 - 4                       :SimplificarMultiplicación

            = 14                           :SimplificarResta

            = 14                             :SoluciónDerivada de: f(x) = 3x2 - 4x ; g '(3) en el Punto g '(3)

Por lo tanto, la solución es:

g '(x) = 6x - 4;g '(3) =14

PROBLEMA:

Hallar la ecuación de la recta tangente en el punto de la gráfica de la función: y = f(x) = x2 - x, (x, y) = (2, 2)

En el Punto: (x, y) = (2, 2)

SOLUCIÓN:

Diferenciación: Hallar la Derivada:

y = f(x) = x2 - x                      :Función: Original Dada 

y '  =  (2)x2-1 - (1)x1-1                :Reglade la Potencia

           = 2x2-1 -  x1-1                 :SimplificarMultiplicación y Propiedad de Elemento Identidad de la Multiplicación

           = 2x1 -  x0                      :SimplificarResta de Exponentes

           =  2x -  1                      :Definición1 como un Exonente y Cero como un Exponente          

            = 2x -  1                       :Solución 1: Derivada de: y = f(x) = x2 - x

                                   d
        Por lo tanto: -----  = 2x -  1               
                                 dx

Pendiente: del Valor de "x"

y' = 2x - 1                       :Derivada: Calculada

    = 2(2) - 1                    :EvaluaciónValor de x: x = 2

    = 4 - 1                       :SimplificarMultiplicación

    = 3                            :SimplificarSuma

Ecuación: Recta Tangente: Forma Punto-Pendiente

y - y1 = m(x - x1)    :DefiniciónForma Punto-Pendiente: y - y1 = m(x - x1)

y - 2 = 3(x - 2)     :Evaluar VariablesPunto-Pendiente: Punto: P1(2, 2); Pendiente: 5

y - 2 = 3x - 6     :PropiedadDistributiva

y  = 3x - 6 + 2     :PropiedadAditiva: de la Igualdad

y  = 3x - 4         :SimplificarSuma

y  = 3x - 4         :SoluciónPendiente-Intercepto: y = mx + b

PREGUNTAS Y RESPUESTAS:

¿Qué significa el límite?

        Tengo una duda con respecto al concepto límite en cálculo.  No se si está bién visualizarlo como ¿el alcance de una función?; es ¿la salida más alta de una función?  Pregunto, entonces, ¿el límite es una variable dependiente?.  Otra duda es, si el límite tiene alguna relación la razón de cambio del dominio de una función

Respuesta:

El "alcance" de una función muchas veces se refiere como "rango", "codominio", "recorrido" de ésta. Se refiere al conjunto de valores que la función asume o asigna. Por ejemplo, si la función:

f = {(1, 3), (5, -2), (7, 3)}

el alcance es el conjunto de valores {-2, 3}.

La "salids más alta" no es una expresión que se usa. Pero, si se refiere al valor mayor que la función asume, en el ejemplo anterior el valor mayor sería 3. En el caso de una función que está compuesta de un conjunto infinito de puntos que se puede representar graficamente, el valor mayor sería la ordenada del punto más alto que la gráfica tiene.

"La variable dependiente" se refiere a la variable que representa los valores que la función asume, la que depende en los valores que la variable independiente toma. La variable dependiente en el ejemplo anterior sería la que se usaría para representar los valores de -2 y 3. Comúnmente usamos la y para representar la dependiente.

La "variable independiente" es la que representa los valores que se le van a procesar por la función, la que puede tomar cualquier valor que la función pueda aceptar. Tipicamente se usa la x para representar la variable independiente. En el ejemplo de la función anterior es la que representaría los valores {1, 5, 7}.

La "razón de cambio" tiene que ver con cuán rápido cambia un valor y otro. En el caso de funciones, por lo regular nos interesa saber cómo cambia la variable dependiente con respecto al cambio de la variable independiente. La "razón de cambio promedio" sería la rapidez de cambio entre estas dos variables. Por ejemplo, la velocidad promedio es la razón de cambio promedio entre el cambio de distancia y el cambio en tiempo. Si decimos que nos tomó una hora para llegar de San Juán a Salinas por la #52 nuestra velocidad promedio fue de 60 millas por hora. Esto no quiere decir que en todo momento nos movíamos a esa velocidad.

El "límite" no es ninguno de los anteriores. Cuando se dice que el límite de una función f en un valor a es el valor L, se refiere a que L es el valor que los valores de la función se acerca cuando se toma valores (procesan valores a través de la función f) cada vez más cerca a "a".

El límite se usa para definir la "razón de cambio instantáneo". Esto es la velocidad instantánea.
Este valor NO existe todo el tiempo. Y, cuando existe NO necesariamente podemos calcularlo evaluando la función. Hay que recordar que el valor "a" no tiene que estar en el dominio de la función. Si la policía nos pára en camino de San Juan a Salinas y nos indica que nuestra velocidad en un momento dado fue de 90 millas por hora, éste se refiere a la "velocidad instantánea".
 

 ¿Cuándo un límite no está definido?

¿Cuando un límite No Está Definido?. ¿Será cuando la salida de una función sea igual a 1?. Si es así, ¿porqué?. Yo entiendo que en una expresión racional, el denominador no puede ser igual a cero, pero ¿qué relación tiene esto con el límite? Según lo que aprendí en precálculo, en una recta vertical, su pendiente no está definida, pues la razón de cambio en la variable dependiente, ubicada en el denominador, será igual a cero.  Entonces, ¿cómo yo puedo relacionar esto para decidir cuándo no existe un límite?

Ir a:

http://www.calculus-help.com/phobedemo/
http://www.calculus-help.com/when-does-a-limit-exist/

He comenzado a realizar la Asignación 1.1 e insertar la función correspondiente en el progama de GRAPH.  Mi duda consiste en ¿cuándo el punto (par ordenado) de tal función es cerrado o abierto?  Me deje llevar por las notas de la clase pasada, pero al crear la gráfica observé ésta posee dos puntos abiertos, a saber: en el par ordenado (2, 4) y (4, 0) (¿son intérvalos abiertos del planno cartesiano?).

Según entiendo, en la función f se coloca un punto sólido cuando x es "mayor o igual que" o "menor o igual que"; pero el punto es hueco cuando x es "menor que" o "mayor que".  Yo lo hice así en GRAPH, pero aparece un punto hueco en el par ordenado (2,4).  Esto se debe a que en la función f(x) = 8-2x, cuando x se encuentre entre 2 y 4, se deben colocar puntos huecos.  El problema es que no sé si esto está bien.

Respuesta:

Como ocurre en el inglés como en el español hay palabras que se escriben igual pero tienen signficado diferentes. Éstas se llaman homónimas. Por ejemplo, las palabras real (adj.: de existencia verdadera) o real (adj.: del rey o la realeza). El contexto donde se usan determina su significado.

En matemáticas, ocurre algo parecido, los pares ordenados pueden significar uno de dos cosas:

Un punto en el plano cartesiano
Un intervalo abierto en la recta numérica

Tenemos que tener claro que no tienen el mismo significado. Cuando nos referimos a puntos NO usamos corchetes. Sin embargo, cuando nos referimos a intervalos usamos corchetes para referirnos a intervalos cerraros o semi cerrados.

Tengo una duda en el ejercicio 9, de la sección 1.5  Observo que en la gráfica que existen dos puntos abiertos que no coinciden cuando x=3.  Pregunto, ¿esta interrupción, o discontinuidad, implica que la gráfica es discontinua en el punto (3,1) y (3,-1)?  Entonces, ¿tal función está definida en todos los valores de x, excepto 3?

Respuesta: Si los dos puntos son abiertos cuando x = 3, significa que el 3 no pertenece al dominio y hay una discontinuidad.

Función del entero mayor pero menor o igual que ...f(x) = [|x|] 

Respuesta:

La Función del Entero mayor pero menor o igual que x representado por [|x|] se conoce en inglés como "The Largest Integer Less Than or Equal a Specified Value Function" es una función que se usa particularmente en el campo de las ciencias de cómputos. Para entender como esta función trabaja estudie los ejemplos siguientes: [|2.3|] = 2 [|2.9|] = 2 [|2|] = 2 Observe que para números negativos, hay que recordar que el menor es el que se encuentran a la izquierda en la recta numérica. Es decir -5 es menor que -1. De modo que: [|-2.3|] = -3 [|-2.9|] = -3 [|-2.0|] = -2 Tome nota que [|-2.0|] es el entero menor o igual que -2.0 y por lo tanto tiene que ser -2. De manera que si consideramos los siguientes límites: lim [| x - 2|] mientras x se acerca a 2 por la derecha, el resultado es 0 lim [| x - 2|] mientras x se acerca a 2 por la izquierda, el resultado es -1 Observe que en este último caso, la diferencia no alcanza el 0 ya que x toma valores cerca a 2, nunca igual a 2.

¿Cuándo es un límite al infinito positivo o negativo?

¿Cuándo es un límite al infinito positivo o negativo?. Por ejemplo, si tenemos:

lim                 cos x
x->(-pi/3)- 

¿Cómo yo determino si el resultado es negativo infinito o positivo infinito?.

Pregunto, basado en que:

               1
lim         ---  =  ∞
x->0+     x



             1
lim        ---  = -∞
x->0-     x


¿La contestación al ejemplo anterior debe ser
- ∞?

Respuesta

No es la misma situación lo que ocurre con la función trignométrica cos x y la función recíproca 1/x Observe de la gráfica que la función coseno es una función continua. De manera que el límite de esta función mientras que x se acerque a cualquier valor a por la izquierda o derecha es cos(a). Es decir: lim cos x = cos (-pi/3) = 1/2. x->(-pi/3)- La función coseno NO tiene asíntotas verticales, de manera que NO hay ningún valor a para el cual, lim cos x = infinito o -inifinito x->a Más aún si consideramos lim cos x x->infinito NO existe ya que no hay un valor particular para el cual la función se acerque mientras que x toma valores bien bien grandes o bien bien pequeños. Muy diferente es el caso de la función recíproca: 1/x


Necesito ayuda para el ejercicio:

              x2 + 2x-3
lim       ---------------
x->-3-    x2 + x-6


Lopa

Use la técnica de factorización. Verá que el cálculo de límite se resuelva facilmente por sustitución.


¿Cómo Determinar la Pendiente de la Tangente con un Punto (x, y)?


Tengo una duda con respecto a ¿Cómo puedo determinar la pendiente (m) de la recta tangente cuando solo poseo un punto: P(x1, y1)?. Por ejemplo, si tenemos el punto (2, 0): ¿debo emplear la fórmula de la derivada para éste propósito?; pero entonces ¿qué valor es h?, ¿será la razón de cambio en x?; pero entonces ¿qué significa esto?, ¿será x2 - x2?

Esto me tiene algo confundido.  Le pregunto, está correcto decir que ¿la pendiente de la recta tangente en el punto (2, 0) equivale a la derivada de la función en tal par ordenado?
 

Esto surge de la Actividad 2.1: La Derivada:

Ejercicios para la Seccción 2.1, página 87. Diice: "En los ejercicios 1 y 2 estime la pendiente de la gráfica en los puntos (x1,y1) y (x2,y2)."  Específicamente, la duda viene del ejercicio: 1, (a).  Me parece, que de la gráfica, se obtiene que P1( x1,y1) = (-3,3) y P2(x2,y2) = (2, 0).  Mi duda es el cálculo de la pendiente.  No se si se requiere emplear el método tradicional:

          y2 - y1         Cambio en y
m = ------------ =  --------------------
         x2 - x1          Cambio en x

o emplear la fórmula de la derivada

                               f (x + cambio en x) - f (x)
f '(x) = lim              ----------------------------------
Cambio en x->0          cambio en x

o no se si hay otra fórmula.

La Pendiente de una Curva?

Continuando con la duda anterior, pregunto, ¿para poder calcular la pendiente de una curva se requieren dos puntos?.  Por ejemplo, si tengo P1(2,0), ¿necesito otro punto? Pero si el ejercicio te dice que la recta tangente toca el punto (-3,3) en una parte de la curva y en la otra la toca en el punto (2,0).  Lo que observo es que hay dos rectas tangentes; pregunto: ¿cada una posee una pendiente individual?

Otra pregunta, ¿se requiere hacer algun tipo de aproximación, buscando la pendiente de algunas líneas entre los puntos de la curva?,  entonces ¿se requiere la presencia de una recta secante, de manera que existan dos puntos?

Calcular la Velocidad Promedio

He tratado de resolver un problema sobre un ejercicio para determinar la velocidad promedio dentro de un intervalo de tiempo dado, sin éxito.  Aqui les presento el problema para ver si encuentro una solución:

PROBLEMA:

Hallar desplazamiento y la velocidad promedio de la expresión: s = - t3 + 4t2 - 4t,
                                                                                            en el intérvalo: 0 ≤ t ≤ 4

DADO:

Posición del objeto en movimiento rectilíneo: s = f(t)

Intérvalo: 0 ≤ t ≤ 4  =  [0, 4]

Movimiento Rectilineo = Desplazamiento = Distancia = s = metros = m

Tiempo = t = segundos = s

Respuesta:

Recordar que la velocidad promedio (razón de cambio promedio) requiere DOS puntos de referencia. En el intervalo 0 ≤ t ≤ 4 hay DOS posiciones de interés: s(0) y s(4).
Velocidad Promedio (Razón de cambio promedio) = (diferencia en posición)/diferencia en tiempo


Tengo una duda sobre la parte para encontrar la ecuación de la recta tangente del ejercicio # 20, página 88.  Específicamente, mi duda es resolver:

y - 2 = 3x2(x - 1)

Utilizando GRAPH, la ecuación de la recta tangente debe poser el término 3x .El problema es que me queda siempre sin poder reducir un 3x3

Este ejercicio se describe como sigue:

PROBLEMA:

Hallar la ecuación de la Recta Tangente: para la función:  f(x) = x3 + 1
en el punto (1,2)

DADO:

Función: f(x) = x3 + 1

Punto: P1(1, 2)

CONOCIDO:

Definición: Derivada de una Función

                    f(x + h) - f(x)
f '(x) = lim -------------------- 
           h-->0            h

Definición: Forma Punto-Pendiente

y - y1 = m(x - x1)

Lopa

Respuesta:

La gráfica de la ecuación y - 2 = 3x2(x - 1) es una curva (parábola). El punto (1,2) es un punto en su gráfica. Se desea determinar la ecuación de la recta tangente por ese punto. Como es una recta tendrá una ecuación de la forma: y = mx + b donde m es su pendiente y b su intercepto en y. Para calcular m, sólo tiene que calcular la derivada de lá función y - 2 = 3x2(x - 1) por el punto (1,2). Una vez lo haya hecho, use la forma "pendiente-intercepto" para determinar la ecuación.

Quisiera saber si el procedimiento para resolver esta pregunta es la correcta:

PROBLEMA:

Hallar la derivada para: g(x) = x3 + 5x

Hallar la derivada para: g(x) = x3 + 5x, en el valor g '(1)

DADO:

Función: g(x) = x3 + 5x

Punto: g '(1)

SOLUCIÓN:

g(x) = x3 + 5x                         

g'(x) = (3)x3-1 + 5(1)x1-1           

         = 3x3-1 + 5x1-1                    

         = 3x2 + 5x0                         

         = 3x2 + 5(1)                        

         = 3x2 + 5                             

         = 3x2 + 0                             

         = 3x2                                    

                          d
Por lo tanto: -----  = 3x2               
                          dx

g'(1)    = 3(1)2                                  

            = 3(1)                                   

            = 3                                      

            = 3 :SoluciónDerivada de: g(x) = x3 + 5x en el Punto g '(1)

Por lo tanto, la solución es:

g '(x) = 3x2; g '(1) = 3

Hubo un error en el cáculo de la derivada g'(1). Si g(x) = x3 + 5x entonces, g(x) = 3x2 + 5 Por tanto, g'(1) = 3(1)2 + 5 = 8.

Quisiera saber cómo puedo terminar el siguiente procedimiento, de manera que pueda determinar la ecuación de la recta tangente, en su forma de pendiente-intercepto:

Ecuación: Recta Tangente: Forma Punto-Pendiente

y - y1 = m(x - x1)    :DefiniciónForma Punto-Pendiente: y - y1 = m(x - x1)

s - s1 = m(t - t1)     :DefiniciónForma Punto-Pendiente: s - s1 = m(t - t1)

s - 5 = 3t2(x - 3)     :Evaluar VariablesPunto-Pendiente: Punto: P1(3, 5); Pendiente: 3t2

Respuesta:

Se sugiere ver el video:

http://www.youtube.com/watch?v=aQhb84bZDzw


También puede visitar:


http://www.youtube.com/watch?v=zskgLyUUTyc

Cuál es la Derivada de la Raíz Cuadrada de theta

Tengo duda en determinar la derivada de la raíz cuadrada de theta.  No se si la debo convertir en una notacion exponencial: theta1/2


Respuesta: Recordar que la theta como como muchos otros símbolos en las matemáticas se usan para representar variables. Es decir cantidades que varían. De mod que para calcular la derivada de la raíz cuadrada de theta se calcula como si estuviera calculando la derivada de la raíz cuadrada de una variable, como la x.

Cómo Hallar el Punto Y1 para la Ecuación de la Recta Tangenta

Dado x1 y se halla determinado la derivada, tendo duda de cómo determinar el punto y1. Por ejemplo:

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la ecuación en el punto donde el valor de x se indica:
 

y=(2x2+3x+4)(2x-3); x =0
 

La derivada fue:

y' =12x2 + 12x + 8 -12x - 9

    = 12x2 -1

para hallar a la pediente m:

m = f'(0) = 12(0)2 -1

   = -1

La pregunta mía es, ¿cómo determino al punto y1?  Este punto lo necesito para insertarlo en la Fórmula Punto-Pendiente.  ¿Será 12?.  Si es así,  ¿Porqué?  ¿Existe otra manera para determinar este punto? 
 

Respuesta:

¿tiene que ver cómo sustituir x1, y1 en la forma pendiente-punto de una recta? Si tenemos que la pendiente de una recta es 3 y las coordenadas de un punto es (-2,5). Su ecuación está dada por: y - y1 = m(x - x1) Entonces: m = 3 x1 = -2 y1 = 5 De modo que al sustituir en la forma pendiente-punto, la ecuación se convierte a: y - (5) = 3(x - (-2)) y - 5 = 3(x + 2) y - 5 = 3x + 6 y = 3x + 6 + 5 y = 3x + 11 De manera que en el problema que le salió, en donde hay que encontrar la ecuación de la recta tangente a la ecuación en el punto donde el valor de x se indica: y = (2x2+3x+4)(2x-3), x =0 Primero, buscamos la primera derivada de y. Usando al Regla del Producto: y' = (2x2 + 3x + 4)(2) + (2x - 3)(4x + 3) = (4x2 + 6x + 8) + ( (8x2 - 6x - 9) = 12x2 - 1 Luego, calculamos la pendiente de la recta tangente cuando x = 0. y' = 12x2 - 1 y'(0) = = 12(0)2 - 1 = -1 Esto quiere decir que la pendiente de la recta tangente por x = 0 es -1. Para determinar el punto, necesitamos saber el valor de y cuando x = 0. Para esto, sustituimos en la ecuación original, el valor de x = 0 y tenemos: y = (2x2+3x+4)(2x-3) y(0) = (2(0)2+3(0)+ 4)(2(0) - 3) = -12 Esto es, cuando x = 0, el punto es (0, -12) Sustituyendo en la forma pendiente-punto de una recta: y - y1 = m(x - x1) m= -1 x1 = 0 y1 = -12 De modo que al sustituir en la forma pendiente-punto, la ecuación se convierte a: y - (-12) = -1(x - (0)) y + 12 = -x y = -x - 12 De manera que la ecuación de la recta tangente es: y = -x -12

Algunas dudas sobre la Reglas de la Cadena y sus Variantes

Poseo algunas duda sobre la Regla de la Cadena y sus variantes.  En primera instancia, cuando decimos que buscamos, utilizando la regla de la cadena, a la derivada de f compuesta con g, ¿nos referimos a calcular a y?

En otra pregunta, ¿las derivadas de las funciones compuestas pueden visualizarse como una pendiente interna y una pendiente externa?

Finalmente, ¿çómo se expresa, de manera correcta, la derivada de las funciones trigonométricas compuestas del coseno?

¿-(sin u)u'?

ó

 ¿(-sin u)u'?

Pregunta 1:

Cuando hay una composición de funciones, tenemos dos funciones envueltas. Una función primero, la cual la llamaré primera función (F) que asigna a sus valores x de su dominio a un valor u de su codominio, y una segunda función (G) que asigna los valores u de su dominio a valores y de su codomio. De manera que:

Digamos

F(x) = x3

G(u) = cos u

También se podría representar estas funciones por las ecuaciones:

u = x3

y = cos u

Si consideramos la primera derivada de la función F con respecto a x, la podemos representar por u' o du/dx. De manera que si F(x) = x3 , entonces

du/dx = 3x2

Si consideramos la primera derivada de la función G con respecto a u, la podemos representar por y' o dy/du. De manera que si G(u) = cos u , entonces

dy/du = -sin u

Cuando consideramos la función compuesta (G o F) estamos hablando de la función:

(G o F)(x) = G(F(x))

Esto es:

G(F(x) = G(3x2)

G(F(x) = cos (3x2)

Para calcular la primera derivad de G con respecto a x, esto es dy/dx se tiene que usar la Regla de la Cadena la cual nos dice que:

du/dx = dy/du.du/dx

du/dx = ( -sin u) . ( 3x2) =  ( -sin x3) . ( 3x2) = -3x2sin x3

Pregunta 2:

Usar las expresiones pendiente interanas, externas o añadirle términos no le ayudará, más bien le confundirá. La derivada de una función f en un valor "a" de su dominio se puede interpretar como una de dos cosas:

1. La pendiente de la recta tangente que pasa por el punto (a, f(a))

ó

2. La razón de cambio instantáneo de la función f en a.

Respuesta 3:

Cualquiera de las dos son equivalentes.

Verificar Problema de Cadena (

Tengo duda en el ejercicio que se describe abajo.  No estoy seguro si todos los pasos están correctos:

Halle Dxy: tan x-1

Dxy[tan x-1]                  :FUNCIÓN: Original Dada 

[sec2(x-1)(-x-2)]            :REGLA: de la Cadena

[sec2(-x-1+(-2))]             :PROPIEDAD: del Producto para Exponentes
                                       :REGLA: Multiplicación de Exponentes con Bases Iguales

[sec2(-x-1-2)]                 :PROPIEDAD: de Resta: Inverso Aditivo de la Resta

[sec2(-x-3)]                    :SIMPLIFICAR: Suma de Exponentes: Signos Iguales Negativos

[-sec2(x-3)]                    :SIMPLIFICAR: Multiplicación

[-sec2(   1   )]                 :DEFINICIÓN: de Exponente Negativo
             -----
              x3

-sec2                            :SIMPLIFICAR: Multiplicación Exponente Negativo
----------
 
x3

                               d                        -sec2 
Por lo tanto: -----  [tan x-1] =   -------           
                    
    dx                          x3

Respuesta:

Hay un par de errores en el proceso:

Dx [tan x-1] :FUNCIÓN: Original Dada .... Ok

= [sec2(x-1)](-x-2) : REGLA: de la Cadena .... Ok

De allí empiezan los errores. Pues, no se puede multiplicar el argumento de la función secante al cuadrado por una expresión que está fuera del argumento. Lo más que puede hacer es reescribirlo así:

= (-x-2)[sec2(x-1)]

=

[sec2(-x--1+(-2))] :PROPIEDAD: del Producto para Exponentes [sec2(-x--1-2)] :PROPIEDAD: de Resta [sec2(-x--3)] :SIMPLIFICAR: Suma Exponentes [-sec2(x--3)] :SIMPLIFICAR: Multiplicación [-sec2(1/x3)] :DEFINICIÓN: de Exponente Negativo -sec2/x3 :SIMPLIFICAR: Multiplicación -sec2/x3 :SOLUCIÓN: de:Dxy[tan x--1]

 Duda al Insertar una Función Trigonométrica en GRAPH

Tengo duda con respecto a la manera correcta para insertar la siguiente función en GRAPH:

y = x2 tan 1/x

La he insertado de varias manera, pero la gráfica se observa algo "rara".  No sé si esto colocando mal las variables.  La he insertado como:

x^2tan(1/x)

x^2(tan(1/x))

(x^2)(tan(1/x))

No obstante, no estoy seguro cuál es la correcta, o si todas están incorrectas.

Respuesta:

En duda, añada todos los paréntesis y símbolos de multiplicación que sean necesarios. Es decir, la correcta es la que represente:

f(x) = (x^2)*(tan(1/x))

Observará que puede obviar el asterisco,

f(x) = (x^2)(tan(1/x))

Sin embargo, no puede obviar ningún otro símbolo por que si lo hace le da algo distinto.

Tengo duda con respecto a las instrucciones :

En los Ejercicios tales, utilice un sistema computadorizado de álgebra para hallar la derivada de la función.  Luego, emplee tal herramienta para trazar la gráfica de la función correspondiente y su derivada sobre el mismo conjunto de ejes de la coordenada.  Describa el comportamiento de la función que c cualquiera de los ceros de la gráfica, la cual que representa la derivada.

y = x2 tan 1/x

Lo que no entiendo bien es la parte que indica: describir el comportamiento de la función que corresponda para cualquiera de los ceros de la gráfica, la cual represente la derivada.

Respuesta:

Lo que el autor estaba tratando de hacer es que se diera atención a cómo los ceros de la función derivada f' describe el comportamiento de la función f. Los "ceros" de una función son los valores de su dominio en dónde la función toma el valor de cero. Si grafica una función, como f(x) = x2tan 1/x Y, luego se grafica su función derivada f', se observa que en los ceros de la función derivada (aprox. -1.1 y +1.1), la gráfica de la función f alcanza un punto máximo o mínimo local. Es decir, un punto en donde cambia de ser creciente a decrecient o vice versa. Vea la imagen que adjunto.

Respuesta: Estudiante: Edgar Lopategui Corsino

Entonces, ¿los ceros de la función (interceptos en x) de la derivada de y = x2tan 1/x indican su comportamiento? ¿los puntos máximo o mínimos se refieren a la gráfica de la función original o a su derivada? ¿Estos puntos máximo y mínimos tiene que ver con lo próximo que se discutirá en clase?

Duda para Insertar -sec2 (1/x) en GRAPH

Tengo duda con respecta a cómo insertar -sec2 (1/x) en GRAPH, pues me envia el error de que "espera un número, constante o función" a insertarla como: -sec^2(1/x)

Respuesta:

Duda sobre Diferenciación Implícita

Tengo varias dudas sobre la diferenciación implícita:

1) Cuál es la difderencia cuando en el quiz te pide buscar Dxy vs dy/dx.

2) Tengo duda en uno de los pasos de la diferenciación implícida.  Por ejemplo:

Halle: dy/dx[x3 + y3 - 9xy = 0]

Solución:

 dy/dx[x3 + y3 - 9xy] = dy/dx 0

 dy/dx x3 + dy/dx y3 - 9 dy/dx xy = dy/dx 0

 3x2 + 3y2 - 9(x dy/dx + y  dy/dx x) = 0 DUDA EN ESTE PASO

3x2 + 3y2  dy/dx - 9x dy/dx -  9y = 0   DUDA EN ESTE PASO

3y2  dy/dx - 9x dy/dx = -3x2 + 9y2

dy/dx (3x2 - 9x) = -3x2 + 9y2

dy       (3x2 - 9x)       -3x2 + 9y2
-----  =  ------------------  =  -------------------
dx       (3x2 - 9x)        (3x2 - 9x)

dy       -3x2 + 9y2
-----  =  -------------------
dx       (3x2 - 9x)

dy       3(-x2 + 3y)
-----  =  -------------------
dx       3(y2 - 3x)

dy       3y - x2
-----  =  ---------------
dx       y2 - 3x

Tengo otra duda sobre la diferenciación implícita.  Especóficamente en el siguiente ejercicio:

PRIMERO:

DADO: 6x2y + π cos y = 7π,    P(1, π)

PROBLEMA: Halle la pendiente o ecuación de la recta tangente

Solución: ?

SEGUNDO: QUÉ HICE MAL:

1) Halle: dy/dx[x3 - 6x2y + y3 = 10] 

Solución:

dy/dx[x3 - 6x2y + y3] = dy/dx 10

dy/dx x3 - 6 dy/dx x2y + dy/dx y3 = dy/dx 10

x2 - 6(x2 dy/dx + y dy/dx x2) + 3y2= 0 

x2 - 6x2 dy/dx - 6y dy/dx + 3y2= 0 

- 6x2 dy/dx  =  - x2 - 3y2  + 6y dy/dx

?

Duda sobre un Ejercicio de Cadena

Tengo una duda de cómo completar el siguiente ejercicio de cadena:

y = (raíz cuadrada de x - 7)-3

El ejercicio requiere calcular la segunda derivada.  Y ahí es donde estriba el problema

Respuesta:

y = (raíz cuadrada de x - 7)-3 es equivalente a: y = [(x - 7)1/2]-3 y = [(x - 7)-3/2] y' = (-3/2)[(x - 7)-5/2][d(x - 7)/dy] y' = (-3/2)[(x - 7)-5/2] y' = -3(x - 7)-5/2/2

Tengo duda con un ejercicio que me apareció en mi quiz 2.2. El ejercicio dice asi: encuentre la ecuación de la tangente en el punto de la gráfica de la función:

w= g(z)= Z^2 - 4, (z,w)= (4,12)

puse en mi respuesta: w=8z-36 y la correcta es: w=8z-20
Quisiera saber que hice mal en el ejercicio. Gracias por su tiempo!

Respuesta:

Primero calculemos la primera derivada de W.

W'(z) = 2z

Esto quiere decir que la pendiente de la recta tangente por el punto (4,12) es:

W'(4) = 2(4) = 8

Ahora, sustituyendo en la forma pendiente-punto de la ecuación de una recta tenemos:

y - 12 = 8(x -4)

Despejando por y:

y = 8x - 32 + 12
y = 8x - 20

En términos de W, z

W = 8z - 20

No se qué hiciste mal. Pero compara los pasos que hice.

Duda: Halle la pendiente de la recta tangente en los valores dados de la variable independiente.

s = 5t4 + -5t3, t = -1

esto fue lo que se realizó:

s'= 20t^3 + (-15t^2)

20(1) - 15(1) = 5

La respuesta es: -35?

El error estriba en el signo negativo frente a 5t^3?

Con respecto para buscar la derivada y luego la ecuación de la recta tangente, DUDA:


Encuentre la ecuación de la recta tangente a la ecuación en el punto donde el valor de x se indica:
y=(2x^+3x+4)(2x-3), x =0
 

Solución y=-1x-12
 

lim            sec x
x->(-pi/2)- 
 

Tiene como contestación ∞ (positivo Infinito)

Los valores por la izquierda, cada vez más son bien negativos, hasta el infinito.  Esto se confirmó con su gráfica.  Por lo tanto, se llegó a la conclusión que el resultado es:

- ∞ (negativo Infinito)

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